五元行列式的计算方法详解
什么是行列式？
在线性代数中，行列式是一个方阵所对应的一个标量值。行列式在线性代数及其应用中有着广泛的应用，比如矩阵的逆、矩阵的秩、线性方程组的解等等。其具体的定义与计算方法会在下文详细讲解。
五阶行列式的计算方法
定义
设五阶方阵A={{a11,a12,a13,a14,a15},{a21,a22,a23,a24,a25},{a31,a32,a33,a34,a35},{a41,a42,a43,a44,a45},{a51,a52,a53,a54,a55}}，则它的行列式为
|A| = а11·а22·а33·а44·а55 + а21·а32·а43·а54·а15 + а31·а42·а53·а14·а25 + а41·а52·а13·а24·а35 + а51·а12·а23·а34·а45 – а51·а42·а33·а24·а15 – а41·а32·а23·а14·а55 – а31·а22·а13·а54·а45 – а21·а12·а53·а44·а35 – а11·а52·а43·а34·а25
其中a11，a22，a33，a44，a55为A的主对角线元素，a12，a23，a34，a45，a51为A的次对角线元素。
计算方法
五阶行列式的计算方法其实就是对于每个元素，将其与其他四个元素配对，得到10个二阶行列式，然后按照上述公式依次求和。简单来说，就是把五阶矩阵先绕着横向的第一行做一次一阶行列式的“砍”，然后剩下一个四阶行列式；再以第二行为横向“砍”一次，得到三阶行列式；以此类推……最后得到一个一阶行列式。
下面以一个例子详细说明一下五阶行列式的计算方法：
设A={{1,2,3,4,5},{6,7,8,9,10},{11,12,13,14,15},{16,17,18,19,20},{21,22,23,24,25}}
首先以第一行为横向“砍”，即
|A| = 1· | 7 8 9 10 | 12 13 14 15 | 17 18 19 20 | 22 23 24 25 | – 6· | 2 3 4 5 | 12 13 14 15 | 17 18 19 20 | 22 23 24 25 | + 11· | 2 3 4 5 | 7 8 9 10 | 17 18 19 20 | 22 23 24 25 | – 16· | 2 3 4 5 | 7 8 9 10 | 12 13 14 15 | 22 23 24 25 | + 21· | 2 3 4 5 | 7 8 9 10 | 12 13 14 15 | 17 18 19 20 |
通过计算可以得到，第一列“砍”完后，剩下了一个四阶行列式，也就是
1· | 7 8 9 10 | 12 13 14 15 | 17 18 19 20 | 22 23 24 25 | – 6· | 2 3 4 5 | 12 13 14 15 | 17 18 19 20 | 22 23 24 25 | + 11· | 2 3 4 5 | 7 8 9 10 | 17 18 19 20 | 22 23 24 25 | – 16· | 2 3 4 5 | 7 8 9 10 | 12 13 14 15 | 22 23 24 25 | + 21· | 2 3 4 5 | 7 8 9 10 | 12 13 14 15 | 17 18 19 20 | = -515320
接下来依次以第二、三、四、五行为横向进行“砍”的操作，最终可以得到
|A|=-120
小结
通过上述计算过程可以看出，五阶行列式的计算方法比较繁琐，需要通过不断的对“砍”的操作，最终得到一个一阶行列式。但只要掌握了计算方法和技巧，理解起来也并不难。除此之外，还有一些特殊的行列式情况，比如主对角线元素都是0、第一行或第一列元素都是0等等，需要通过特殊的处理方式来进行计算。
，行列式是线性代数中的一个重要内容，对学习和理解矩阵、向量、线性方程组等有着重要意义，需要认真学习和掌握。
