9的倍数的特征
乘法中，所有的整数都可以表示为 $3n$，$3n+1$ 或 $3n+2$ 的形式。而对于 $3n$ 和 $3n+2$，它们不可能是9的倍数。因此，只有 $3n+1$ 这种形式的整数可能是9的倍数。因为 $9=3\imes3$，可以写成 $(3n+1)\imes3k$ 的形式，所以只要一个数是3的倍数，那么它的个位数字之和也必须为3，才有可能是9的倍数。
证明方法
首先，我们有一个结论：如果一个整数的各个数位之和是9的倍数，那么它本身也是9的倍数。
证明： 假设一个整数 $N$ 的各位数字之和为 $S$，且 $S=9k$。则可以将 $N$ 写成： $$ N=a_n10^n + a_{n-1}10^{n-1} + \\cdots + a_110^1 + a_0 $$ 其中 $a_i$ 表示 $N$ 的第 $i$ 位数字，$n$ 是 $N$ 的位数减1。 将 $10$ 拆分成 $9+1$，那么上式可以写成： $$ \\begin{aligned} N &= a_n(9+1)^n + a_{n-1}(9+1)^{n-1} + \\cdots + a_1(9+1)^1 + a_0 \\\\ &= a_n\\cdot9^n + a_{n-1}\\cdot9^{n-1}\\cdot1+\\cdots+a_1\\cdot9\\cdot1^{n-1} + a_0\\cdot1^n. \\end{aligned} $$ 由于 $S=9k$，与上式相加抵消后，可以得到： $$ N = a_n\\cdot9^n + a_{n-1}\\cdot9^{n-1}+\\cdots+a_1\\cdot9+a_0 + k\\cdot9. $$ 由此得到： $$ N=9(a_n\\cdot10^n+a_{n-1}\\cdot10^{n-1}+\\cdots+a_1\\cdot10^1+a_0)+k\\cdot9=9M. $$ 根据这个结论和上面的分解式，可以知道对于形如 $N=3n+1$ 的整数，它的各位数字之和必须是3的倍数。只有这种情况下，它才有可能是9的倍数。
结论
9的倍数的特征是：它的各位数字之和必须是9的倍数。但需要注意的是，并不是所有各位数字之和是9的倍数的整数都是9的倍数，只有那些形如 $3n+1$ 的整数才可能是9的倍数。
