梯形的周长怎么计算公式（梯形的周长公式）-维新小众圈

梯形的周长怎么计算公式（梯形的周长公式）

路的蓝鸟 • 2024-03-09 10:42:32 • 百科学习 • 阅读 438

梯形的周长公式

梯形的定义：梯形是一种四边形，它有两条平行的边（上底和下底）和两条不平行的边（腰线），同时它也有两个对顶角（上底与下底之间的角和两条腰线对应的角）。

梯形周长公式的推导

计算梯形的周长需要找到梯形的四条边长，由于梯形有两条平行边和两条不平行边，因此我们需要根据不同情况分别推导出梯形周长的公式。

首先，我们考虑上底和下底长度相等的等腰梯形。如下图所示，$ABCD$ 是一个等腰梯形，$AB=CD=a$，$BC=AD=b$。

我们可以将梯形分成两个三角形和一个矩形，分别计算它们的周长再相加即可得到梯形的周长。矩形的周长是两条平行线段之和，即 $a+a=2a$。对于三角形 $ABC$，它的周长为 $a+b+\\sqrt{a^2-b^2}$，因为 $ABC$ 为等腰直角三角形，所以 $\\angle BAC=90^\\circ$，因此 $AC=\\sqrt{AB^2-BC^2}=\\sqrt{a^2-b^2}$。同理可得三角形 $ADC$ 的周长是 $a+b+\\sqrt{a^2-b^2}$。因此，我们得到了等腰梯形周长的公式：

$$ \\begin{aligned} C &= 2a + (a+b+\\sqrt{a^2-b^2}) + (a+b+\\sqrt{a^2-b^2}) \\\\ &= 4a+2\\sqrt{a^2-b^2}+2b \\end{aligned} $$

接下来，我们考虑上底和下底长度不相等的一般梯形。如下图所示，$ABCD$ 是一个一般梯形，$AB=a$，$BC=b$，$CD=c$，$DA=d$。

我们可以将梯形分成两个三角形和两个梯形，分别计算它们的周长再相加即可得到梯形的周长。注意到两个三角形 $ABC$ 和 $DCD'$ 的周长相等，因为它们的底边（$BC$和$CD$）和高（$AA'$）都相等。因此，我们只需要计算一个三角形和两个梯形的周长即可。对于三角形 $ABC$，它的周长是：

$$ AC+BC+\\sqrt{(b+c)^2-a^2} $$

其中 $\\sqrt{(b+c)^2-a^2}$ 表示三角形 $ABC$ 的高，由勾股定理得到。对于梯形 $ABCD'$，它的周长是：

$$ \\frac{a+d}{2}+\\sqrt{\\left(\\frac{a-d}{2}\\right)^2+b^2} $$

其中 $\\frac{a+d}{2}$ 表示上底和下底的平均值，$\\sqrt{\\left(\\frac{a-d}{2}\\right)^2+b^2}$ 表示两条腰线之间的距离。同理可得梯形 $BCD'A'$ 的周长是：

$$ \\frac{b+c}{2}+\\sqrt{\\left(\\frac{b-c}{2}\\right)^2+d^2} $$

因此，我们得到了一般梯形周长的公式：

$$ C = AC+BC+\\sqrt{(b+c)^2-a^2}+\\frac{a+d}{2}+\\sqrt{\\left(\\frac{a-d}{2}\\right)^2+b^2}+\\frac{b+c}{2}+\\sqrt{\\left(\\frac{b-c}{2}\\right)^2+d^2} $$